简介

medie2005在csdn论坛提出一个问题:

将一个合数的所有素因子从小到大排列连接成一个新的数，如果这个新的数是原数的倍数，我们称这个原数为CSDN Number. 比如:$n=28749=3\times 7\times 37\times 37$. 于是Factor(28749)=373737. 而$\frac{373737}{28749}=13$. 于是28749是一个CSDN Number.

你能求出多大范围内的CSDN Number?

有人通过穷举发现$10^8$以内28749是唯一的一个CSDN Number,那么是否就不存在其它的CSDN Number了呢？

后来无心人在2008年4月19日寻觅到了第二个CSDN Number

n=237 379 286 772 731 308 578 588 912 877 240 596 445 141 325 762 163 750 564 487 723 891 992 461 222 648 851 843 630 125 607 599 752 729 038 353 369 033 808 597 579 540 472 923 130 204 730 174 179 441 751 910 786 430 758 685 776 002 714 186 782 580 881 746 115 354 635 619

其中$\frac{factor(n)}n = 7\times 7\times 11\times 23\times 127$。 让我们一起看看这么神奇的数据究竟是如何被寻觅到的。

详细内容

在medie2005将信息发布到国外网站 primepuzzles.net后，J.K. Andersen首先在2008年12月8日找到了第二小的CSDN Number是 $21757820799 = 3\times 11\times 13\times 683\times 74257$其中$Factor(n)=3111368374257,\frac{Factor(n)}n=143$。

关于CSDN Number是不是只有有限个， mathe给出的估计恰恰相反，应该有无穷个

假设n是一个候选数，那么通过n的所有素因子排列，我们可以得到另外一个大于n的数m,如果我们看成m是否n的倍数完全随机，那么m是n的倍数的概率应该是$\frac 1 n$.通过这个想法， 我们可以估计$N$以内csdn数目的期望值应该为 $\sum_{n\le N, n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} ...p_t^{a_t}, t\ge 3} \frac 1n$, 其中求和式中n至少有三个素因子，而且n不是2和5的倍数。 可以看出，这个数据在$N$比较小时不会很大(显然远远小于$\sum_{n=1}^N \frac 1n ~= \ln(N)$) 但是可以证明上面的和在N趋向无穷时也趋向无穷。所以有理由相信csdn数应该是很多的，只是通常会比较大。

而一个突破口是他认为

不过另外一方面，我觉得我们可以通过构造法得出一些特殊的解。 我们首先可以寻找一些形式如$a\times 10^b+1$的合数，其中a很小，而合数的因子数目尽量多。 找到这样的合数以后，我们将这个合数的部分素因子按顺序排序，如果得到结果能够形成一个$a\times p$形式的数，其中p为b位素数，我们就可以得到一个解。 特别的对于a=1，我们选择b为适当的合数应该会比较好，比如a=1,b=15就很可能有解.

gxqcn对上面苦涩难懂的内容做了进一步解读

将 $10^b + 1$ 分解因数，假设素数 $p_1 \le p_2 \le \dots \le p_r$ 均在其中， 如果将这$r$个素数依次排列成的十进制数恰好为一个b位素数 $P = \overline{p_1p_2\dots p_r}$ ， 那么$n = p_1\times p_2\times\dots\times p_r\times P$ 即为解之一。

因为：$Factor(n) = \overline{p_1p_2\dots p_rP} = \overline{PP} = P\times(10^b+1)$， 所以：$\frac{Factor(n)}{n} = \frac{P\times(10^b+1)}{p_1\times p_2\times\dots\times p_r\times P} = \frac{10^b+1}{p_1\times p_2\times\dots\times p_r}$，

gxqcn从网络上找到了$10^n\pm 1$因子分解的现成结果

无心人在2008年4月19日首先利用$10^{105}+1$的因子分解摘选了部分因子

	211
	241
	2161
	2689
	9091
	459691
	909091
	4147571
	29970369241
	1661378260814161
	265212793249617641
	18276168846821336356291

给出了 第一个巨大的CSDN Number 237 379 286 772 731 308 578 588 912 877 240 596 445 141 325 762 163 750 564 487 723 891 992 461 222 648 851 843 630 125 607 599 752 729 038 353 369 033 808 597 579 540 472 923 130 204 730 174 179 441 751 910 786 430 758 685 776 002 714 186 782 580 881 746 115 354 635 619

后来shshsh_0510，无心人和medie2005在2008年4月又陆续利用上面方法找到了一些CSDN Number。

J.K. Andersen再次出手，引用了同样的方法在2008年12月构造了更多的结果。

medie2005另外非常期望能够找到$\frac{Factor(n)}n$尽量小的结果。到现在我们还只能找到$\frac{Factor(n)}n=11$的结果

n=859 × 1058313049 × 8591058313049 
Factor(n)=85910583130498591058313049 
         =8591058313049 × (10^13+1)
Factor(n)/n=11 

而对于是否存在n使得$\frac{Factor(n)}n=3$或$\frac{Factor(n)}n=7$还是未知的问题。