摘要

2013年1月hujunhua提问 :

$Z_6^2$上的最优幻方

在编排6阶全对称幻方时，排成蜂窝状网格（又称为等距网格）比排成方格可体现更高的对称性，如图1所示。图中坐标相同的格为同一格，表现了所谓全对称幻方是嵌入到一个三维环面（轮胎面）的。在平面上表现时，可以按这个局部呈现的相邻关系扩展到整个平面上。扩展后，将视野取为一个如图2那样的正六角形区域时，呈现了6阶幻方的旋转对称性。在等距格网上，原来方格网上的一条对角线（x=y）看起来成为一条主轴。等距网格的对角线定义为相距次近的两格的连线，如图1中的黄色格列（在图2的正六角形视野中，呈现为正六角形的长对角线方向）。按此定义，6阶幻方有3条主轴方向和3条对角线方向，我们要求在其中的每一个方向上直线排列的6格数之和都等于幻方和数。这就比通常所谓的“全对称幻方”约束更多，对称性更高。

图1 菱形视野	图2 六角形视野

用代数学的语言来描述，6阶幻方就是$Z_6^2$→｛1, 2, 3, ..., 36｝的一个映射f, f 满足某些函数方程，即幻方编排者所称的幻方律。比如关于行的幻方律即
$f(x,y)+f(x,y+1)+f(x,y+2)+...+f(x,y+5)=6A$($A$是36个填入数的平均值）
由于 f 的定义域为模$Z_6^2$, 所以这类幻方宜可称之为模上的幻方，简称模幻方。

除了定义时给出的2条幻方律（其实是6条，但是可用主轴线和对角线分别概括），6阶模幻方还有一些导出的幻方律，展现了其6阶旋转对称性。

导出律1：对角线上的相间三格之和等于3A。如图3所示。变换视野，一条对角线的相间3格布成一个正三角形。图4显示两条这样的半对角线布成了一个正六角形，六角之和等于6A（导出律2）。 导出律3：见图5，4个黄色格（其中格33带红色纹线）之和等于4A。格33也可以在带纹线的青色格的位置，在此视野中这四格呈菱形。

图3 导出律1：对角线上的相间三格之和等于3A	图4 导出律2：正六角形的六角之和等于6A	图5 导出律3：边长为4格的菱形四角之和等于4A

还有更多的表现6阶旋转对称性的导出律，下帖给出。这些导出律并非观察具体的数字而来，而是依据定义所给的约束方程消元而得。要用具体的数字来验证这些幻方律，我暂时还没有实例，因为我至今也没有编排出一个6阶模幻方的实例。事实上，对于这样的6阶幻方，用｛1, 2, 3, ..., 36｝是填不成功的。因为，图5中的4格减去图3中3格=4A-3A=A，所以A必须是整数。若用｛1, 2, 3, ..., 36｝，总和Σ=18×37，A=Σ/36 非整数。
为了编出6阶模幻方，f 只能取其它的值域。为了保持幻方的数字之美，值域应该满足一定的要求。我们的要求是尽可能接近自然数前段{1~36}。由于18×37≡18(mod 36), 所以要使A为整数，最接近｛1~36｝的数组是从中去掉18，添上0，即｛0~17，19~36｝。

这就是本擂的目标：用｛0~17，19~36｝填入构建6阶模幻方。

更多规律分析

hujunhua接着给出了更多的规律分析 :
导出律4：如图6所示的边平行于主轴的最小正六角形（黄色格），六角之和加上中心格的2倍等于8A 导出律5：如图7所示的边平行于对角线的最小正六角形（黄色格），六角之和减去中心格等于5A

图6 导出律4	图7 导出律5

导出律6：图8所示正六角形区域的13个黄格之和等于13A. 由图6与图7叠加即得。 导出律7：图9所示正六边形区域的19个黄格之和等于19A. 由图8与图4叠加即得。 [attachimg]4355[/attachimg][attachimg]4356[/attachimg] 图8 导出律6 图9 导出律7

图8 导出律6	图9 导出律7

参数方案

接着hujunhua给出了参数方案分析 :
导出律1和导出律3涉及的格子少，导出律4涉及的格子密集，这很有利于手工得出参数解。图10就是一个在36个填入数之和为零（称为零和幻方）的条件下的参数布置方案。如果我们用填入数｛±1, ±2, ±3, ..., ±18｝,就会产生零和幻方。
图10 参数解

6阶零和模幻方的定义中给出的36个约束方程的秩为24，所以参数解的维数为12. 上图中我们选两个白六角形的六个角a1,b1,...,f1, a2,b2, ..., f2为参数，其它格就可以由上述导出律得到。s1=-(a1+b1+...+f1)/2, s2=-(a2+b2+...+f2)/2, s3=-(s1+s2), a3=-(a1+a2),....

mathe后来也给出了类似的分析结果

单孔6阶模幻方不存在

hujunhua先开始用程序进行搜索 ，发现52小时才运行了大概5%的进度，没有找到任何合法的结果，终止了代码的运行。
mathe开始用C编写代码穷举，但是代码里面出现多次bug, 屡败屡战，终于穷举证明了只有一个空缺的6阶模幻方是不存在的 。

最小6阶模幻方

后来mathe的代码找到了3孔6阶模幻方 :
0~39: Find:

Find:

hujunhua将它们转化为图案后发现它们其实是等价的

mathe还验证 了也不存在双孔6阶模幻方，并且穷举出所有可能的三孔6阶模幻方 。

美图秀

hujunhua首先对数据进行了分析处理，得出 :
把数据平移为-19~+19后，发现大部分都是正负对称的，即都缺 0，剩下的两洞对称。 我还没有发现缺奇数的，目前只发现缺±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16的。 相反数对的分布有中心对称、旋转对称、镜像对称、分块对称和不对称的。 不对称的只有少数.

数据预处理完成（转化为M10规则表）， 去重前的分类统计结果：
{0~38}的48个，化为{-19~19}后全都为非对称数组（即都不含0洞）。
{洞组, 频数｝如下： {{-18, -12, -6}, 24}，
{{-16, -14, -6}, 12}
{{-14, -12, -10},12}。
可见皆为非零和幻方，总和为36。化为零和幻方，每格-1，成为{-20~18}，倒是全部为奇数洞了。

{1~39}的6792个，化为{-19~19}后，全部为零和幻方，其中6624个为对称数组，其余168个为非对称数组（含0）。
{洞组, 频数｝
{{-2, 0, 2}, 180},
{{-4, 0, 4}, 240},
{{-6, 0, 6}, 972},
{{-8, 0, 8}, 540},
{{-10, 0, 10}, 768},
{{-12, 0, 12}, 888},
{{-14, 0, 14},312},
{{-16, 0, 16}, 780},
{{-18, 0, 18}, 1944},(\times 这个洞组的最多，先前104例中居然没碰到\times )。
{{-10, -8, 18}, 36},（\times 非对称洞组\times ）
{{-18, 8, 10}, 36},(\times 与上行对称，重合情况有待分析\times ）
{{-10, -6, 16}, 12},
{{-16, 6, 10}, 12}, (\times 与上行对称，重合情况有待分析\times ）
{{-14, -4, 18},36},
{{-18, 4, 14}, 36}}(\times 与上行对称，重合情况有待分析\times ）

按洞组分离后，就有利于去重了。（免于在不同洞组间进行比较）

手工处理了48个{0~38}的去重，结果只有4个本原解。每个本原解重复12次（含自身）。
把数组化成了{-20~18}, 使总和为0，相应的{洞组, 本原解数}如下：
{{-19, -13, -7}, 2}
{{-17, -15, -7}, 1}
{{-15, -13, -11}, 1}

然后他设计了一个画图的mathematica代码

RulesArray =Solve[x + y + z == 15 && 0 <= x <= 10 && 0 <= y <= 10 && 0 <= z <= 10, {x, y, z}, Integers];
mf[n_] := m13906[[n, Mod[5 - z, 6, 1], Mod[y + 1, 6, 1]]]
Graphics3D[{Sphere[{x, y, z}], Text[Style[Abs@mf[100], Medium, Bold, If[mf[100] > 0, Black, Red]], {x, y, z}]} /. RulesArray, ViewPoint -> {100, 100, 100}, Boxed -> False]

可以给出类似如下的图 ：
程序中的坐标{5-z,y+1}的选择是为了使画出来的图的左上角幻方与 mathe 的解的排列顺序一致。 坐标使用±{-x, y}, ±{-y, x}, ±{-y, z}, ±{-z, y}, ±{-z, x}或±{-x, z}都是可以的，无非是旋转和镜像的关系。 或者在此基础上再加一个常数也行（比如我们用的+5和+1），这是平移。 画法原理：就是在平面 x+y+z=15 的下图所示整点上画单位球，利用球的相贯线自动形成蜂巢状。

于是他继续分析余下数据，并给出如下图解:
{{-10, -8, 18}, 36}
{{-18, 8, 10}, 36}
两组正负对应重复，共有3个本原解，每解重复24次。旋转6X转置2X正负2.

{{-10, -6, 16}, 12},
{{-16, 6, 10}, 12}
两组正负对应重复，共有1个本原解，重复24次。

{{-14, -4, 18},36},
{{-18, 4, 14}, 36}}
两组正负对应重复，共有3个本原解，每解重复24次。

最后剩下6624个{1~39}对称洞组的
{洞组, 频数｝
{{-2, 0, 2}, 180},
{{-4, 0, 4}, 240},
{{-6, 0, 6}, 972},
{{-8, 0, 8}, 540},
{{-10, 0, 10}, 768},
{{-12, 0, 12}, 888},
{{-14, 0, 14}, 312},
{{-16, 0, 16}, 780},
{{-18, 0, 18}, 1944}

注意到其中有些频数不是24的倍数，所以不可能都是每解24重。
失重的应该是正负对称，那些中心对称、镜像对称和平移对称的可能会正负失重，因为它们是自对称的。

所有频数都是12的倍数，由于不存在旋转和转置自对称者，故可预料每解至少12重。

{{-2, 0, 2}, 180}去重:

mathe是固定 a(3, 2)=2，化为对称数组后即红18不动。下面画图时，a(3, 2)位于中心。

去掉旋转和镜像重复后得15个解 ，它们的相反数对全都是平移对称的，因此没有取反重复，故此即本原解。

{{-4, 0, 4}, 240}去重，16个本原解

先按上述方法去掉镜像和旋转重复，得20解

审核这20解的取反重复，发现3、6、7、8、10、11、12、15、16、17、19、20 这 12 个的相反数对是平移对称的，因此是取反自对称的。
1 与 9，2 与 18， 4 与 13， 5 与14 是取反重复的。
4与13， 5与14 的相反数对关系很诡异，即我前面所称的分块对称，其实这四个貌似也有某种取反自对称。

中心对称12图

mathe 给的3孔数组幻方中，第1个就是中心对称幻方（见27楼和34楼），所以最初以为会有很多中心对称幻方的。
没想到最终只有12个。不多则可以全列出来了。

去重汇总

一、6624个对称数组去重结果汇总：

二、非对称数组，7个本原解，
所以共是459个本原解。其中取反自对称的为280个.

不对称的种种（一）

对称幻方虽然多，模式就那两种。不对称的可以想像必是各种各样了。
如何表征、识别各种不对称呢？为了使用程序处理，我们找的是相反数对的中点。
设#是幻方 x 中的一个数，通过计算Position(x,#)+Psition(x,-#)（mod 6）搜索生成中点表.
然后累计各中点被搜到的次数，形成权数表。显然权数之和为18.
排序后的权数表就成为幻方相反数对的分布特征。
两个不同对称分布的幻方，权数表可能不一样，而两个不同权数表的幻方，肯定有不同的对称分布。

例如：中心对称幻方的权数表为{18}, 平移对称幻方的权数表为{2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}.

注意我们计算中点坐标时没有除以2，而模仍然取的是6。原因如下：
如34#所示，由于周期性，每对相反数实际上有4个中点，这4个中点扩展铺开形成的网格周期为3。
因此如果中点坐标不除以2，则把这四个中点的权数合并（视为同一个）时需要取模6.

以下是M10程序生成的去掉旋转和镜像重复和平移对称后的282个本原解的权数表的频数。

我们看到有3个权数表的频数为2，表明按这种对称分布的幻方各只有一对（取反重复）。
权数表最短的{18}，显然就是中心对称的了。
权数表为{6,6,6}的就是所谓“镜像对称”。
权数表为6个2并6个1的频数最大，达112，表明这是一种典型分布，虽不如中心对称和平移对称简单，应该也是一种很有规律的分布。
权数表为9个2的与平移对称的权数表一样，但显然两者不同。说明权数表有丢失信息，可能合并了不同的分布细类。
中点权数表的合并横放版

不对称的种种（二）

既然中点权数表不能完全区分幻方相反数偶的分布，我们再寻找一种表征：向量表。
#是幻方 x 中的一个数，相反数偶的向量= Position(x, #)-Position(x, -#)(mod 6, -2)
注：(mod 6, -2)表示取模6的绝对值最小剩余，即剩余系取 {-2, -1, 0, 1, 2, 3).
统计向量权重时，方向相反的等长向量合并计权，然后将所得权重除以2。
去除旋转和镜像对称后的552个幻方的相反数偶向量表统计频数如下：

显然，{向量, 权重} 表最短的{{3, 0}, 18}即平移对称幻方，它的18个相反数偶向量均相同。
程序计算结果中，包括{{3, 0}, 18} 和 {{3, 3}, 18}两种形式，实为同一种分布，旋转120°而已。
程序并不排除{{0, 3}, 18}, 但却没有发现，那就是竟然在旋转、镜像去重中都滤掉了。
那个频数为12的{向量, 权重} 表，即属中心对称幻方。

不对称的种种（三）

从中点权重表与相反数偶向量表的频数并不能一一对应。
已经验证的一一对应关系有三项：
1、平移对称
2、中心对称
3、频数为112者，说明这种不再细分了。

剩下的向量表有一个频数为72，超过了剩下的中点权重表中的最大频数。可见向量表也不能完全区分相反数偶的分布。
也许把两都交叉起来，就比较确定了。