在理想模型下(没有任何阻力，弹性碰撞)，将一个静止小方块放在在墙壁和大方块之间， 让大方块以一定的初始速度撞向小方块，那么小方块总共会碰撞几次呢？ 简单计算可以知道，当

大方块质量为小方块一倍时，经过第一次碰撞加速后，小方块会在和墙壁来一次亲密接触后 反弹并再次和大方块发生一次碰撞，所以小方块一共碰撞了3次。

那么当大方块质量为小方块的100时呢？这时由于质量的巨大差别，小方块需要在墙壁和大方块之间 往返多次才能大方块掉头远离。经过逐步计算可以知道这次小方块需要碰撞31次。

那如果质量比变为10000倍呢？计算得知，倍感压力的小方块现在需要碰撞314次了。

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发现规律了？

没错，神奇的$\pi$强势出现在此碰撞试验中。

查看视频可以有详细解答。

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这里提供一个计算方法: 根据动量守恒,能量守恒,不难得到:
$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1'^2+\frac{1}{2}m_2v_2'^2, m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$

然后相减,相除相消可以得到$v_1+v_1'=v_2+v_2'$,代入继而得到
$v_1'=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2},v_2'=\frac{v_2(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}$
观察发现这是一次线性表达, 为了方便计算的迭代,我们总要转换成矩阵表达
$A=( \begin{array}{cc} \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} & \frac{2 m_2}{m_1+m_2} \\ \frac{2 m_1}{m_1+m_2} & \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} \\ \end{array} ), ( \begin{array}{c} v_1' \\ v_2' \\ \end{array} )=A ( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} )$
小方块碰撞墙壁后速度大小不变,方向取反,也就是上面的矩阵第一行整体取相反数.同时为了尽可能简化这个矩阵,我们设$m_2=\cot ^2(\theta )m_1$,代入化简得到:

$B = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\cdot A= \left( \begin{array}{cc} \cos (2 \theta ) & -2 \cos ^2(\theta ) \\ 2 \sin ^2(\theta ) & \cos (2 \theta ) \\ \end{array} \right)$

n轮碰撞[方块之间的碰撞+墙壁反弹]之后,

$B^n = \left( \begin{array}{cc} \cos (2n\theta) & -\cot (\theta)\sin(2n\theta) \\ \tan(\theta) \sin(2n\theta) & \cos(2n\theta) \\ \end{array} \right)$

也就是

$( \begin{array}{c} v_1^{Final} \\ v_2^{Final} \\ \end{array} )=B^n ( \begin{array}{c} v_1^{initial} \\ v_2^{initial} \\ \end{array} )=B^n ( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ \end{array} )$

化简得到$v_2^{Final}-v_1^{Final} = -\csc(\theta)\sin(\theta +2n\theta) >0$, 继而得到碰撞次数$N = 2n+1, \frac{\pi}{\theta}<N<\frac{2\pi}{\theta}$[取首次速度反转的结果], 当$\theta$接近于0时,$\theta\approx \tan(\theta)$ ,所以 $N \theta \approx \pi$ , 得证.